Download miễn phí Ôn tập Đại số tổ hợp - Nhị thức newton
Dạng 2:
ĐẠO HÀM HAI VẾ CỦA KHAI TRIỂN NEWTON ĐỂ
CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC
– Viết khai triển Newton của (ax + b)n.
– Đạo hàm 2 vế một số lần thích hợp .
– Chọn giá trị x sao cho thay vào ta được đẳng thức phải chứng minh.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
iều phải chứng minh .2. Tìm số hạng đứng trước xi (i đã cho) trong khai triển nhị thức Newton của
một biểu thức cho sẵn
• Ví dụ : Giả sử số hạng thứ k + 1 của (a + b)n là an – k bk .Tính số hạng thứ 13
trong khai triển (3 – x)15.
k
nC
Giải
Ta có :
(3 – x)15 = 315 – 314x + … + 315 – k .(–x)k + … + – x15 015C
1
15C
k
15C
15
15C
Do k = 0 ứng với số hạng thứ nhất nên k = 12 ứng với số hạng thứ 13
Vậy số hạng thứ 13 của khai triển trên là :
31215C
3(–x)12 = 27x12. 15!
12!3!
= 12.285x12.
3. Đối với bài toán tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức (a + b)n
(a, b chứa x), ta làm như sau :
- Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là :
an – k bk =cm. xm. knC
- Số hạng độc lập với x có tính chất : m = 0 và 0 ≤ k ≤ n, k ∈ N. Giải phương
trình này ta được k = k0. Suy ra, số hạng độc lập với x là . 0knC 0
n ka − 0kb
• Ví dụ : Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức
18x 4
2 x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là :
18 k
k
18
xC
2
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ .
k4
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =
k k 18 2k 18 k k
18C 2 .2 .x .x
− − − = k 3k 18 18 2k18C 2 .x
− −
Số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức có tính chất :
18 – 2k = 0 ⇔ k = 9
Vậy, số hạng cần tìm là : .29. 918C
4. Đối với bài toán tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển nhị thức (a + b)n với a,
b chứa căn, ta làm như sau :
– Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là :
= Kk n k knC a b
−
m n
p qc .d với c, d ∈¤
– Số hạng hữu tỷ có tính chất : m
p
∈ N và n
q
∈ N và 0 ≤ k ≤ n, k N. ∈
Giải hệ trên, ta tìm được k = k0. Suy ra số hạng cần tìm là :
. 0 0k n k knC a b
− 0
• Ví dụ : Tìm số hạng hữu tỷ trong khai triển nhị thức ( )73 16 3+
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là :
7 k1
k 3
7C 16
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
k1
23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
7 k k
k 3 2
7C .16 .3
−
.
Số hạng hữu tỷ trong khai triển có tính chất :
7 k N
3
k N
2
0 k 7, k N
−⎧ ∈⎪⎪⎪ ∈⎨⎪ ≤ ≤ ∈⎪⎪⎩
⇔
− =⎧⎪⎨⎪ ≤ ≤⎩
7 k 3m
k chẵn
0 k 7
⇔
k 7 3m (m Z)
k chẵn
0 k 7
= − ∈⎧⎪⎨⎪ ≤ ≤⎩
⇔ k = 4
Vậy, số hạng cần tìm là : . 4 217C .16.3
Bài 120. Khai triển (3x – 1)16.
Suy ra 316 – 315 + 314 – … + = 216. 016C
1
16C
2
16C
16
16C
Đại học Bách khoa Hà Nội 1998
Giải
Ta có : (3x – 1)16 =
16
16 i i i
16
i 0
(3x) ( 1) .C−
=
−∑
= (3x)16 – (3x)15 + (3x)14 + … + . 016C
1
16C
2
16C
16
16C
Chọn x = 1 ta được :
216 = 316 – 315 + 314 – … + . 016C
1
16C
2
16C
16
16C
Bài 121. Chứng minh :
a) n 0 n 1 1 n 2 2 n nn n n n2 C 2 C 2 C ... C 3
− −+ + + + =
b) . n 0 n 1 1 n 2 2 n n nn n n n3 C 3 C 3 C ... ( 1) C 2
− −− + + + − =
Giải
a) Ta có : (x + 1)n = . 0 n 1 n 1 nn nC x C x ... C
−+ + + n
n
n
n
)
Chọn x = 2 ta được :
3n = . 0 n 1 n 1 nn nC 2 C 2 ... C
−+ + +
b) Ta có : (x – 1)n = . 0 n 1 n 1 n nn nC x C x ... ( 1) C
−− + + −
Chọn x = 3 ta được :
2n = . n 0 n 1 1 n 2 2 n nn n n3 C 3 C 3 C ... ( 1) C
− −− + + + −
Bài 122. Chứng minh : ;
n 1
k n 1
n
k 1
C 2(2 1
− −
=
= −∑ n k kn
k 0
C ( 1) 0
=
− =∑ .
Đại học Lâm nghiệp 2000
Giải
Ta có : (1 + x)n = (*)
n
0 1 2 2 n n k k
n n n n n
k 0
C C x C x ... C x C x
=
+ + + + =∑
Chọn x = 1 ta được
2n =
n
k 0 1 2 n 1
n n n n n
k 0
C C C C ... C C−
=
n
n= + + + + +∑
2n = ⇔ 1 2 n 1n n n1 C C ... C 1−+ + + + +
2n – 2 = ⇔
n 1
k
n
k 1
C
−
=
∑
Trong biểu thức (*) chọn x = – 1 ta được 0 =
n
k k
n
k 0
C ( 1)
=
−∑ .
Bài 123. Chứng minh : 0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n2n 2n 2n 2nC C 3 C 3 ... C 3 2 (2 1)
−+ + + + = +
Đại học Hàng hải 2000
Giải
Ta có : (1 + x)2n = (1) 0 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C x C x ... C x C x
− −+ + + + +
(1 – x)2n = (2) 0 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C x C x ... C x C x
− −− + + − +
Lấy (1) + (2) ta được :
(1 + x)2n + (1 – x)2n = 2 0 2 2 2n 2n2n 2n 2nC C x ... C x⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦
Chọn x = 3 ta được :
42n + (–2)2n = 2 0 2 2 2n 2n2n 2n 2nC C 3 ... C 3⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦
⇔
4n 2n2 2
2
+ = 0 2 2 2n2n 2n 2nC C 3 ... C 3+ + + 2n
⇔
2n 2n2 (2 1)
2
+ = 0 2 2 2n2n 2n 2nC C 3 ... C 3+ + + 2n
) 2n = ⇔ 2n 1 2n2 (2 1− + 0 2 2 2n2n 2n 2nC C 3 ... C 3+ + +
Bài 124. Tìm hệ số đứng trước x5 trong khai triển biểu thức sau đây thành đa thức :
f(x) = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7.
Đại học Kiến trúc Hà Nội 1998
Giải
Ta có : (2x + 1)4 =
4
i 4
4
i 0
C (2x) i−
=
∑ ; (2x + 1)5 = 5 i 55
i 0
C (2x) i−
=
∑
(2x + 1)6 =
6
i 6
6
i 0
C (2x) i−
=
∑ ; (2x + 1)7 = 7 i 77
i 0
C (2x) i−
=
∑
Vậy số hạng chứa x5 của (2x + 1)4 là 0.
số hạng chứa x5 của (2x + 1)5 là . 0 55C (2x)
số hạng chứa x5 của (2x + 1)6 là . 1 56C (2x)
số hạng chứa x5 của (2x + 1)7 là . 2 57C (2x)
Do đó hệ số cần tìm là = 0 + + + 0 55C 2
1 5
6C 2
2 5
7C 2
= = 28 1 26 7(1 C C )2+ + 5 × 32 = 896.
Bài 125. Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển
n
5
3
1 x
x
⎛ +⎜⎝ ⎠
⎞⎟
+
+
biết rằng
= 7(n + 3). n 1 nn 4 n 3C C
+
+ −
Tuyển sinh Đại học khối A 2003
Giải
Ta có : = 7(n + 3) (với n n 1 nn 4 n 3C C
+
+ − ∈ N)
⇔ ( )
(n 4)! (n 3)!
3! n 1 ! 3!n!
+ +−+ = 7(n + 3)
⇔ (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1)
6 6
+ + + + + +− = 7(n + 3)
⇔ (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42
⇔ (n2 + 6n + 8) – (n2 + 3n + 2) = 42
⇔ 3n = 36
⇔ n = 12.
Ta có :
12 5 112 12 36 i5 i 3 12 i i i2 2
12 123
i 0 i 0
1 x C (x ) .(x ) C x
x
− +− −
= =
⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑
1
Yêu cầu bài toán –36 + ⇔ 11i
2
= 8 (với i ∈ N và 0 ≤ i 12) ≤
⇔ 11i
2
= 44 ⇔ i = 8 (thỏa điều kiện).
Vậy số hạng chứa x8 là
8
8 8
12
12!xC x
8!4!
= = 812 11 10 9 x
4 3 2
× × ×
× × = 495x
8.
Bài 126. Biết rằng tổng các hệ số của khai triển (x2 + 1)n bằng 1024. Hãy tìm hệ số a
của số hạng ax12 trong khai triển đó.
Đại học Sư phạm Hà Nội 2000
Giải
Ta có : (x2 + 1)n = 0 2 n 1 2 n 1 i 2 n i nn n nC (x ) C (x ) ... C (x ) ... C
− −
n+ + + + +
Theo giả thiết bài toán, ta được
= 1024 0 1 in n nC C ... C ... C+ + + + + nn
2n = 1024 = 210 ⇔ ⇔ n = 10
Để tìm hệ số a đứng trước x12 ta phải có
2(n – i) = 12 ⇔ 10 – i = 6 ⇔ i = 4
Vậy a = 410
10! 10 9 8 7C
4!6! 4 3 2
× × ×= = × × = 210.
Bài 127. Tìm hệ số đứng trước x4 trong khai triển (1 + x + 3x2)10.
Giải
Ta có :
(1 + x + 3x2)10 = [1 + x(1 + 3x)]10
= 0 1 2 2 2 3 3 310 10 10 10C C x(1 3x) C x (1 3x) C x (1 3x)+ + + + + + +
4 4 4 10 1010 10C x (1 3x) ... C (1 3x)+ + + +
Hệ số đứng trước x4 trong khai triển chỉ có trong , ,
đó là :
2 2 2
10C x (1 3x)+ 3 3 310C x (1 3x)+
4 4 4
10C x (1 3x)+
2 3 4
10 10 10
10! 10! 10!C 9 C 9 C 9. 9
8!2! 3!7! 6!4!
+ + = + +
= 405 + 1080 + 210 = 1695.
Bài 128. Tìm hệ số của x8 trong khai triển [1 + x2(1 – x
Tuyển sinh Đại học khối A 2004
Giải
+
+
g chứa x g kh i triển trên chỉ có trong và
Vậy hệ số của x8 là : + = 238.
Bài 129. Cho
)]8.
Ta có :
[1 + x2(1 – x)]8 = 0 1 2 2 4 28 8 8C C x (1 x) C x (1 x)+ − + −
3 6 3 4 8 4 5 10 5 6 12 68 8 8 8 C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x)+ − + − + − + −
7 14 7 8 16 88 8 C x (1 x) C x (1 x)+ − + −
Số hạn 8 tron a 3 6 38C x (1 x)− 4 8 48C x (1 x)−
đó là 3 6 28C x .3x và
4
8C
8x
3
83C
4
8C
nxx 1
322 2
− −⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
=
n n 1 xx 1 x 1
0 1 32 2
n nC 2 C 2 2 ..
−− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
.+ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ … +
n 1 nx xx 1
n 1 n3 32
n n⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
C 2 2 C 2
−− − −− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ +
⎝ ⎠
.
Biết và số hạng thứ tư bằng 20n.
Tuyển sinh Đại học khối A 2002
(điều kiện n
⎝ ⎠
rằng 3 1n nC 5C= T...