chuot_ngoc
New Member
Download Toán - Chuyên đề Định m để bất phương trình thỏa điều kiện cho trước miễn phí
Cho hàm số y = (m^2*x^2 +1)/x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 1
2. Tìm những điểm trên đường thẳng y = 1, sao cho không thể có giá
trị nào của m để đồ thị của hàm số đi qua.
3. Tìm những điểm cố định mà đồ thị của hàm số đi qua, với mọi m.
4. Xác định a để x^2 - ã + 1 > 0 với mọi x >0
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
Tóm tắt nội dung:
241VẤN ĐỀ 9
Định m để bất phương trình có
nghiệm trên R, vô nghiệm trên R, có
nghiệm hay vô nghiệm trên một tập
con của R.
242
Vấn đề 9
Định m để bất phương trình có
nghiệm trên R, vô nghiệm trên R, có
nghiệm hay vô nghiệm trên một tập
con của R.
A. VÀI VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
các bạn có thể tìm hiểu một vài ví dụ cơ bản sau :
VD1 :
Tìm m sao cho f(x) = x2 ≥ m, ∀x ∈ R (1)
Giải
(1) thỏa khi m ≤ minf(x), ∀x ∈ R ⇔ m ≤ 0
VD2 :
Tìm m để x2 – 2x + 2 – m ≥ 0, ∀x ∈ R (2)
Giải
Cách 1 :
(2) thỏa khi
⎩⎨
⎧
≤∆
>=
0'
01a
⇔ 1 – 3 + m ≤ 0 ⇔ m ≤ 2
Cách 2 :
(x – 1)2 + 2 – m ≥ 0 ⇔ (x – 1)2 ≥ m – 2 (*)
bất phương trình (*) kuôn đúng, ∀x ∈ R
⇔ m – 2 ≤ min(x – 1)2 , x ∈ R ⇔ m – 2 ≤ 0 ⇔ m ≤ 2
VD3 :
Tìm m để |x – 1| + |x – 2| - m + 1 ≥ 0 ,
∀x ∈ R
Giải
Đặt f(x) = |x – 1| + |x – 2|
⇔ |x – 1| + |x – 2| ≥ m – 1
243
Yêu cầu đề bài xảy ra khi m – 1 ≤ minf(x), x ∈ R
⇔ m – 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ 2
VD4:
Cho f(x) = x2 + 2(m + 1)x + m + 7
Định m để bất phương trình f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [0 ; 1]
Giải
∆’ = (m + 1)2 – m – 7 = m2 + 2m + 1 – m – 7 = m2 + m – 6
+ ∆’ < 0 ⇔ m2 + m – 6 < 0 ⇔ -3 < m < 2
Lúc này f(x) > 0 ; ∀x ∈ R nên hiển nhiên f(x) > 0 ; ∀x ∈ [0 ; 1]
Kết luận : -3 < m < 2 (nhận)
+ ∆ = 0 ⇔
⎡ = − = − + = − ≥⎢∀ ∈ > ∀ ∈⎢⎢ = = + + = + ≥ ∀ ∈⎢ > ∀ ∈⎢⎣
2 2
2 2
3 : ( ) 4 4 ( 2) 0
,nên ( ) 0; [0;1]
2 : ( ) 6 9 ( 3) 0;
( ) 0; [0;1]
m f x x x x
x R f x x
m f x x x x x R
nên f x x
Kết luận : m = - 3 hay m = 2 (nhận) (b)
+ ∆ > 0 ⇔ ⎣
3
2
m
m
x 0 1 x1 x2 0 1
f(x) + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu, xảy ra khi 0 < 1 ≤ x1 < x2 ∪ x1 < x2 ≤ 0 < 1
hay
≤ <⎡⎢ < ≤⎣
1 2
1 2
1 (1)
0 (2)
x x
x x
(1) ⇔
⎧⎪ ≥⎪ ⎨⎪⎪ >⎩
1. (1) 0
3 2
1
2
f
m m
S
⇔
+ + + + ≥⎧⎪ ⎨⎪− − − >⎩
1 2 2 7 0
3 2
1 1 0
m m
m m
m
244
⇔
−⎧ ≥⎪⎪ ⎨⎪ < −⎪⎩
10
3
3 2
2
m
m m
m
. Vậy : −10
3
≤ m < -3 (c)
(2) ⇔
≥⎧⎪ ⎨⎪− − <⎩
1 (0) 0
3 2
1 0
f
m m
m
⇔
≥ −⎧⎪ ⎨⎪ > −⎩
7
3 2
1
m
m m
m
Vậy : m > 2 (d)
Hợp (a), (b), (c), (d) ⇔ m ≥ −10
3
Bài tập tương tự – Bạn đọc tự giải .
Tìm m sao cho x2 – 2x + 3 – m ≥ 0
a) ∀x ∈ (0 , +∞) Đáp số : m ≤ 2
b) ∀x ∈ [2 ; 5] .
Hướng dẫn : m – 2 ≤ minf(x) , x ∈ [2 , 5] ⇔ m ≤ 3
Để tiến xa hơn một chút ……… các em sẽ theo dõi thêm các bài tập sau
Bài 1
–x2 + 2mx + |x – m| - 1 < 0 (1)
Tìm m để bất phương trình (1) luôn nghiệm đúng với ∀x ∈ R
Giải
(1) ⇔ x2 – 2mx - |x – m| + 1 > 0
⇔ x2 – 2mx + m2 – m2 - |x – m| + 1 > 0
⇔ (x – m)2 - |x – m| - m2 + 1 > 0 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ >+−−
≥−=
(2) 01mTT
0|mx|T
22
Để bất phương trình (1) luôn đúng với ∀x ∈ R thì bất phương trình (2)
luôn đúng ∀T ≥ 0
245
Xét f(T) = T2 – T > m2 – 1 , T ≥ 0 (*) mà
T 0
2
1 +∞
f(T) 0 -
4
1 +∞
(*) thỏa khi m2 – 1 < minf(T) , khi T ≥ 0
⇔ mα - 1 < -
4
1 ⇔ m2 <
4
3 ⇔
2
3m
2
3 <<−
Kết luận : khi
2
3m
2
3 <<− thì (1) luôn đúng ∀x ∈ R
Bài 2
Tìm m để bpt sau :
2 2f (x) x (m 2)x m 1 0= − + + + > nghiệm đúng với x 1∀ >
Giải
Ta có : a = 1 và 23m 4m∆ = − + có dấu phụ thuộc vào a và ∆ nên ta
xét các trường hợp sau :
1) Xét 430 m 0 m∆
Lúc này f (x) 0, x R > ∀ ∈ . Mà (1; ) R+∞ ⊂ Nên : f (x) 0, x 1 > ∀ >
Kết luận : Nhận đáp số 4 3m 0 m .(a)
2) Xét 4 30 m 0 m∆ = ⇔ = ∨ =
• m 0 := b1 2 2ax x 1= = − =
Lập bảng xét dấu :
Nhìn vào bảng xét dấu cho ta f (x) 0, x 1 > ∀ >
Vậy m = 0 nhận (b1)
• 4 3m := 51 2 3x x= =
Lập Bảng xét dấu :
Vì 0
5x (1; )
3
∃ = ∈ +∞ có 5f ( ) 0 0
3
= >
Kết luận : 4m 3= không nhận. (b2)
3) Xét 40 0 m :3∆ > ⇔ < < Lưu ý bảng xét dấu cho :
246
Để f (x) 0, x 1 > ∀ > thì 1 2x x 1< ≤
f (1) 0
40 m 3
S 1
2
⎧⎪ ≥⎪⎪⇔ < <⎨⎪⎪ <⎪⎩
Hợp (a), (b1), (b2), (c) cho ta kết luận m . (c) ⇔ ∈∅
Kết luận : 4m 0 m 3≤ ∨ >
Bài 3
Cho hàm số : 4 3 2y x 4x mx= + +
1. Với m = 4, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chứng tỏ rằng đồ thị có trục đối xứng.
2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số có trục đối
xứng.
3. Xác định m sao cho 4 3 2x 4x mx 0 khi x 1 + + ≥ ≥
Giải
1. Khảo sát, vẽ đồ thị (C) :
Hàm số 4 3 2y x 4x 4x= + + . Miền xác định : R
3 2 2y ' 4x 12x 8x 4x(x 3x 2)= + + = + +
x 0 (y 0)
y ' 0 x 1 (y 1)
x 2 (y 0)
= =⎡⎢= ⇔ = − =⎢⎢ = − =⎣
2 2y '' 12x 24x 8 4(3x 6x 2)= + + = + +
2y '' 0 3x 6x 2 0= ⇔ + + =
1
2
3 3x 1,6 x
3
3 3x 0, 4 x
3
⎡ − −= ≈ =⎢⎢⇔ ⎢ − += ≈ − =⎢⎣
x -∞ x1 x2 +∞
y’’ + 0 - 0 +
(C) lõm | lồi | lõm
uốn uốn
Bảng biến thiên :
247
x -∞ -2 -1 0
+∞
y’’ - 0 + 0 - 0 +
(C) +∞ 1 +∞
(max)
0 0
(min) (min)
Đồ thị :
x 1 y 9
x 3 y 9
+ = ⇒ =
+ = − ⇒ =
Bây giờ ta chứng minh (C) có trục đối xứng.
Coi điểm I (- 1, 0 ). Dời hệ trục Oxy bằng phép tịnh tiến thành hệ trục
IXY. Công thức đổi trục là :
x X 1
y Y
= −⎧⎨ =⎩
Như vậy, đối với hệ trục IXY, đồ thị (C) trên đây có phương trình là :
4 3 2Y (X 1) 4(X 1) 4(X 1)= − + − + − 2 2Y (X 1) (X 1) 4(X 1) 1⎡ ⎤⇔ = − − + − +⎣ ⎦
2 2 2 2 4 2(X 1) (X 1) (X 1) X 2X 1 F(X)= − + = − = − + =
Rõ ràng Y = F(X) là hàm số chẵn. Vậy (C) nhận trục tung IY làm trục
đối xứng. Nói cách khác, (C) có trục đối xứng là đường thẳng
x = - 1 trong hệ trục Oxy.
248
2. Định m để m(C ) : 4 3 2y x 4x mx= + + có trục đối xứng :
Dễ thấy rằng
lim
x → ±∞ y ,= +∞ nên m(C ) chỉ có trục đối xứng thẳng
đứng. Coi điểm I(a, 0). Dời hệ trục Oxy về đến hệ trục IXY bằng
phép tịnh tiến. Công thức đổi trục là
x X a
y Y
= +⎧⎨ =⎩
Như vậy, đối với hệ trục IXY, đồ thị m(C ) có phương trình là :
4 3 2
2 2 2 2
4 3 2 2
Y (X a) 4(X a) m(X a )
(X 2aX a ) X 2(a 2)X a 4a m
X 4(a 1)X (6a 12a m)X
= + + + + +
⎡ ⎤= + + + + + + +⎣ ⎦
= + + + + +
3 2 4 3 2(4a 12a 2am)X (a 4a a m) F(X)+ + + + + + =
Để m(C ) nhận đường thẳng x = a trong hệ trục Oxy làm trục đối
xứng, thì m(C ) phải nhận trục IY trong hệ trục IXY làm trục đối xứng,
điều kiện cần và đủ là Y = F(X) là hàm chẵn.
3 2
4(a 1) 0 a 1
m 44a 12a 2am 0
+ =⎧ = −⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ =+ + =⎪ ⎩⎩
Vậy chỉ với m = 4 thì m(C ) mới có trục đối xứng là đường thẳng
x 1= − trong hệ trục Oxy (ta tìm được lại kết quả câu 1).
3. Định m sao cho : 4 3 2x 4x mx 0 khi x 1 + + ≥ ≥
Để ý rằng 4 3 2 2 2x 4x mx x (x 4x m)+ + = + + . Do đó, [ )x 1; :∀ ∈ ∞
4 3 2 2x 4x mx 0 x 4x m 0 + + ≥ ⇔ + + ≥
Xét [ )2y f (x) x 4x m, x 1; = = + + ∈ ∞ ; [ )y ' f '(x) 2x 4 0 x 1; = = + > ∀ ∈ ∞
Vậy [ )
Min
x 1; ∈ ∞ y f (1) 5 m= = +
[ )y 0, x 1; ≥ ∀ ∈ ∞ [ )
Min
x 1,
⇔ ∈ ∞ 5 m 0⇔ + ≥ m 5⇔ ≥ −
Vậy khi m 5≥ − thì 4 3 2x 4x mx 0 khi x 1 + + ≥ ≥ .
Chú ý :
Cách khác : Để f(x) [ )0, x 1;≥ ∀ ∈ ∞ điều kiện là :
249
' 0∆ ≤ hay
1 2
' 0
' 0
x x 1
∆ >⎧ ⇔ ∆ ≤⎨ < ≤⎩
hay
' 0
f (1) 0
S 1
2
⎧⎪∆ >⎪ ≥⎨⎪⎪ <⎩
m 4 hay m 5 m 5 ⇔ ≥ ≥ − ⇔ ≥ −
Bài 4
Cho hàm số xy
1 x
= +
1. Dùng định nghĩa của đạo hàm, hãy tính giá trị đạo hàm y ' tại điểm
x = 0.
2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
3. Tìm số a lớn nhất sao cho với mọi giá trị x ta đều có :
2x ax x
1 x
≥ ++
Giải
1. Tính đạo hàm của y tại x = 0
Đặt xy...