Download Luận văn Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền
MỤC LỤC
ĐẶT VẤN ĐỀ . 2
Chương 1: Các kiến thức cơ bản về giải số phương trình đạo hàm riêng. 4
1.1 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN. 4
1.2 THUẬT TOÁN THU GỌN KHỐI LƯỢNG TÍNH TOÁN. 6
1.2.1 Bài toán biên thứ nhất. . 6
1.2.2 Bài toán biên thứ hai. 12
1.3 ÁP DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC. 15
1.3.1 Bài toán biên Dirichlet. 15
1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp. 16
1.4 PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ CÁC SƠ ĐỒ LẶP CƠ BẢN. 18
1.4.1 Không gian năng lượng. 18
1.4.2 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử. 19
Chương 2: Cơ sở Toán học của phương pháp chia miền. 27
2.1 CÔNG THỨC ĐA MIỀN VÀ PHƯƠNG TRÌNH STEKLOV- POICARE. 28
2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN CƠ SỞ. 30
2.2.1 Phương pháp Dirichlet-Neumann. 30
2.2.2 Phương pháp Neumann-Neumann. 31
2.2.3 Phương pháp Robin. 31
2.3 MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHIA MIỀN. 33
2.3.1 Thuật toán chia miền Patrick Le Talle. . 33
2.3.2 Thuật toán chia miền J.R.Rice, E.A. Vavalis, Daopi Yang. 35
2.3.3 Thuật toán chia miền Saito-Fujita. 37
2.3.4 Phương pháp DQuangA-VVQuang. 38
2.3.5 Phương pháp chia miền giải bài toán biên gián đoạn mạnh . 40
Chương 3: Mô hình tính toán song song giải bài toán Elliptic dựa trên chia miền . . 43
3.1 CÁC BƯỚC LẶP TRÊN NHIỀU MIỀN CON. 43
3.2 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN GIÁN
ĐOẠN MẠNH. . 45
3.2.1.Hướng tiếp cận hiệu chỉnh đạo hàm. 46
3.2.2. Hướng tiếp cận hiệu chỉnh hàm. . 47
3.3. CÁC KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM. 49
3.4. ỨNG DỤNG MÔ HÌNH SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC. 51
3.4.1 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh đạo hàm . 53
3.4.2 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh hàm . 57
3.4.3 Các kết quả thực nghiệm. 60
NHẬN XÉT KẾT LUẬN. 63
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN . . 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO. 65
PHỤ LỤC. 68
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
1 = , = 0,1,2,...k k
k
y y
B Ay f k
(1.27
’
)
Trong trường hợp này, phương trình (1.32) liên hệ với sai số xấp xỉ
=
k k
z y u
có dạng
1
0 0
= 0, = , = 0,1,2,...k k
k
z z
B Az z y u k
(1.32
’
)
Toán tử
B
nói chung là không đối xứng, có toán tử ngược 1B .
Định lý: Nếu
A
là toán tử đối xứng, xác định dương thì
1 1
> ( , ) > ( , ),
2 2
B A hay Bx x Ax x x H (1.34)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.27 ’) trong không gian
A
H
với
tốc độ hội tụ cấp số nhân
1
, = 0,1,2,..., <1,
k kA A
z z k
(1.35)
trong đó
1
2
*
2 * 0
2 1
= 1 , = ( ), = ( ),min min
2
k k
k k
A B A
B
trong đó
*
0
=
2
B B
B
là phần đối xứng của toán tử B .
Chứng minh
Từ (1.32 ’) ta có:
1
=
k k
z Sz
với
1=S E B A . Do đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
2
1 1 1
1 1
2 1 1
2 1 1
= ( , ) =
= ( , ) =
= ( ( ) ,( ) ) =
= [( , ) ( , )]
( , ).
k k kA
k k
k k
k k k k kA
k k
z Az z
ASz Sz
A E B A z E B A z
z AB Az z B Az Az
AB Az B Az
Thế
=
k k
Az Bv
với
1=
k k
v B Az
, kết hợp với điều kiện
A
là toán tử
đối xứng ta được
2 2
1
1
= 2 (( ) , ).
2
k k k kA A
z z B A v v
(1.36)
Do giả thiết (1.34) của định lý ta suy ra toán tử 1
=
2
P B A
là toán
tử dương. Chúng ta thiết lập tính xác định dương của nó trong
H
* *
1
, > 0,
2
B A E
(1.34
’
)
trong đó
*
là giá trị riêng nhỏ nhất của toán tử
0 0
1
=
2
P B A
. Do đó
2
*
1
2 (( ) , ) 2 .
2
k k k
B A v v v
(1.36
’
)
Mặt khác
2
1
21
21 2
2 2
= ( , ) =
= ( , )
.
. .
.
k k kA
k k
k
k
k
z Az z
Bv A Bv
A Bv
A B v
B v
suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
26
2 2
2 .k k Av z
B
(1.37)
Kết hợp (1.36 ’), (1.36), (1.37) ta được
2 2 22
1
=
k k kA A A
z Sz z
với
2 *
2
2
=1 <1
B
. Từ đó ta suy ra (1.33).
Còn bất đẳng thức
0
n
n A A
z z
khẳng định sự hội tụ của phép lặp do
0,n n
.
Với
=
k
B B
cố định, định lý đã đưa ra qui tắc lựa chọn giá trị
để
lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp
=B E
, điều kiện hội tụ sẽ được đảm bảo
nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn
1 1
( ) =1 ( ) > 0
2 2
k k
E A A
hay
1
1 > 0.
2
A
Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi 2
<
A
.
Kết luận: Trong chương 1, luận văn đã trình bày một số kiến thức liên
quan đến việc giải số phương trình đạo hàm riêng bao gồm một số kiến thức
cơ bản của phương pháp sai phân, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán
giải phương trình vec tơ 3 điểm đối với bài toán biên thứ nhất và bài toán biên
thứ hai, áp dụng đối với bài toán biên Dirichlet và bài toán biên hỗn hợp, cơ
sở lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử. Những kiến thức
quan trọng này làm nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương
tiếp theo của luận văn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
27
Chương 2
CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHƢƠNG PHÁP CHIA MIỀN
Trong chương này, chúng ta đưa ra cơ sở toán học của phương pháp
chia miền bao gồm giới thiệu các khái niệm về các điều kiện chuyển giao giữa
các biên chung, các công thức biến phân và đặc biệt là ứng dụng của toán tử
Steklov-Poincare đối với phương pháp chia miền. các phương pháp lặp đơn
trên các biên chung. Các kiến thức được trình bày trên cơ sở các tài liệu
[11,12, 14, 22, 25, 26, 29, 30, 31]
Hình 1
Xét bài toán
, ,
0, ,
u f x
u x
(2.1)
trong đó
là miền
d
chiều
)3,2( d
, với biên Lipschitz
, kí hiệu
n
là véc
tơ pháp tuyến ngoài của miền
,
f là hàm đã cho thuộc không gian 2 ( )L ,
1
d
j j
j
D D
là toán tử Laplace và
jD
.
Kí hiệu là đạo hàm riêng theo
)..1( djx j
. Giả sử rằng miền
được chia
thành hai miền con không giao nhau
1
và
2
, kí hiệu
21
(Hình 1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
28
2.1 Công thức đa miền và phƣơng trình Steklov-Poicare
Kí hiệu
i
u
là giá trị nghiệm
u
trong miền
)2,1(, ii và in là hướng
pháp tuyến ngoài trên
i
. Ta đặt
1nn
. Khi đó bài toán (2.1) có thể viết
lại dưới dạng đa miền như sau:
1 1
1 1
1 2
2 1
2 2
2 2
, ,
0, ,
, ,
, ,
0, ,
, .
u f x
u x
u u x
u u
x
n n
u x
u f x
(2.2)
Các phương trình 3 và 4 trong (2.2) là các điều kiện chuyển tiếp trên
biên về mặt ý nghĩa vật lý muốn mô tả điều kiện liên tục của hàm và đạo hàm
khi biến thiên qua biên chung
giữa hai miền. Kí hiệu
là giá trị chưa biết
của
u
trên
, ta xét hai bài toán biên Dirichlet
, ,
0, ,
, .
i i
i i
i
w f x
w x
w x
(2.3)
Với
2,1i
, chúng ta có thể biểu diễn
*0
iii uuw
trong đó
0
iu
và
*
iu là nghiệm của các bài toán Dirichlet sau:
0
0
0
0, ,
0, ,
, .
i i
i i
i
u x
u x
u x
(2.4)
*
*
*
, ,
0, ,
0, .
i i
i i
i
u f x
u x
u x
(2.5)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
29
Với mỗi
2,1i
0
iu
là mở rộng điều hoà của
vào
i
và được kí hiệu
là
iH
, ta sẽ viết
i
G f
thay cho
*
iu
. Bằng việc so sánh (2.2) và (2.3) ta thấy
rằng
)2,1( iuw ii
khi và chỉ khi
.,21
x
n
w
n
w (2.6)
Giá trị
trên biên chung phải thoả mãn phương trình Steklov-
Poincare
, ,S x
trong đó (2.7)
2
2 1
1
i
i
G f G f G f
n n n
, (2.8)
trong đó
S
là toán tử Steklov-Poincare được định nghĩa bởi
2
1
21
i
i
i
n
H
n
H
n
H
S
.
Cùng với toán tử
S
, ta cũng sử dụng các toán tử
1
iS
và gọi là các toán
tử Poincare-Steklov.
Mô hình chia miền trên có thể áp dụng đối với bài toán tổng quát
xfLu , , (2.9)
trong đó
L
là toán tử vi phân,
f là hàm đã cho và u là nghiệm chưa biết. Do
được chia thành hai miền con nên phương trình (2.9) tương đương với hai
phương trình
22
11
,
,,
xfLu
xfLu
(2.10)
trong đó
)2,1(, iui cần thoả mãn các điều kiện chuyển dịch qua được
biểu hiện bởi hai quan hệ tổng quát
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
30
,),()(
,),()(
21
21
xuu
xuu
trong đó các hàm
,
phụ thuộc vào từng loại bài toán, Với bài toán Poisson
thì
n
v
vvv
)(,)(
.
2.2 Các phƣơng pháp lặp đơn cơ sở
Trong phần này, chúng ta xét việc giải bài toán đa miền bằng c...
Download miễn phí Luận văn Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền
MỤC LỤC
ĐẶT VẤN ĐỀ . 2
Chương 1: Các kiến thức cơ bản về giải số phương trình đạo hàm riêng. 4
1.1 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN. 4
1.2 THUẬT TOÁN THU GỌN KHỐI LƯỢNG TÍNH TOÁN. 6
1.2.1 Bài toán biên thứ nhất. . 6
1.2.2 Bài toán biên thứ hai. 12
1.3 ÁP DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC. 15
1.3.1 Bài toán biên Dirichlet. 15
1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp. 16
1.4 PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ CÁC SƠ ĐỒ LẶP CƠ BẢN. 18
1.4.1 Không gian năng lượng. 18
1.4.2 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử. 19
Chương 2: Cơ sở Toán học của phương pháp chia miền. 27
2.1 CÔNG THỨC ĐA MIỀN VÀ PHƯƠNG TRÌNH STEKLOV- POICARE. 28
2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN CƠ SỞ. 30
2.2.1 Phương pháp Dirichlet-Neumann. 30
2.2.2 Phương pháp Neumann-Neumann. 31
2.2.3 Phương pháp Robin. 31
2.3 MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHIA MIỀN. 33
2.3.1 Thuật toán chia miền Patrick Le Talle. . 33
2.3.2 Thuật toán chia miền J.R.Rice, E.A. Vavalis, Daopi Yang. 35
2.3.3 Thuật toán chia miền Saito-Fujita. 37
2.3.4 Phương pháp DQuangA-VVQuang. 38
2.3.5 Phương pháp chia miền giải bài toán biên gián đoạn mạnh . 40
Chương 3: Mô hình tính toán song song giải bài toán Elliptic dựa trên chia miền . . 43
3.1 CÁC BƯỚC LẶP TRÊN NHIỀU MIỀN CON. 43
3.2 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN GIÁN
ĐOẠN MẠNH. . 45
3.2.1.Hướng tiếp cận hiệu chỉnh đạo hàm. 46
3.2.2. Hướng tiếp cận hiệu chỉnh hàm. . 47
3.3. CÁC KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM. 49
3.4. ỨNG DỤNG MÔ HÌNH SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC. 51
3.4.1 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh đạo hàm . 53
3.4.2 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh hàm . 57
3.4.3 Các kết quả thực nghiệm. 60
NHẬN XÉT KẾT LUẬN. 63
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN . . 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO. 65
PHỤ LỤC. 68
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung:
ng.1 = , = 0,1,2,...k k
k
y y
B Ay f k
(1.27
’
)
Trong trường hợp này, phương trình (1.32) liên hệ với sai số xấp xỉ
=
k k
z y u
có dạng
1
0 0
= 0, = , = 0,1,2,...k k
k
z z
B Az z y u k
(1.32
’
)
Toán tử
B
nói chung là không đối xứng, có toán tử ngược 1B .
Định lý: Nếu
A
là toán tử đối xứng, xác định dương thì
1 1
> ( , ) > ( , ),
2 2
B A hay Bx x Ax x x H (1.34)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.27 ’) trong không gian
A
H
với
tốc độ hội tụ cấp số nhân
1
, = 0,1,2,..., <1,
k kA A
z z k
(1.35)
trong đó
1
2
*
2 * 0
2 1
= 1 , = ( ), = ( ),min min
2
k k
k k
A B A
B
trong đó
*
0
=
2
B B
B
là phần đối xứng của toán tử B .
Chứng minh
Từ (1.32 ’) ta có:
1
=
k k
z Sz
với
1=S E B A . Do đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
2
1 1 1
1 1
2 1 1
2 1 1
= ( , ) =
= ( , ) =
= ( ( ) ,( ) ) =
= [( , ) ( , )]
( , ).
k k kA
k k
k k
k k k k kA
k k
z Az z
ASz Sz
A E B A z E B A z
z AB Az z B Az Az
AB Az B Az
Thế
=
k k
Az Bv
với
1=
k k
v B Az
, kết hợp với điều kiện
A
là toán tử
đối xứng ta được
2 2
1
1
= 2 (( ) , ).
2
k k k kA A
z z B A v v
(1.36)
Do giả thiết (1.34) của định lý ta suy ra toán tử 1
=
2
P B A
là toán
tử dương. Chúng ta thiết lập tính xác định dương của nó trong
H
* *
1
, > 0,
2
B A E
(1.34
’
)
trong đó
*
là giá trị riêng nhỏ nhất của toán tử
0 0
1
=
2
P B A
. Do đó
2
*
1
2 (( ) , ) 2 .
2
k k k
B A v v v
(1.36
’
)
Mặt khác
2
1
21
21 2
2 2
= ( , ) =
= ( , )
.
. .
.
k k kA
k k
k
k
k
z Az z
Bv A Bv
A Bv
A B v
B v
suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
26
2 2
2 .k k Av z
B
(1.37)
Kết hợp (1.36 ’), (1.36), (1.37) ta được
2 2 22
1
=
k k kA A A
z Sz z
với
2 *
2
2
=1 <1
B
. Từ đó ta suy ra (1.33).
Còn bất đẳng thức
0
n
n A A
z z
khẳng định sự hội tụ của phép lặp do
0,n n
.
Với
=
k
B B
cố định, định lý đã đưa ra qui tắc lựa chọn giá trị
để
lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp
=B E
, điều kiện hội tụ sẽ được đảm bảo
nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn
1 1
( ) =1 ( ) > 0
2 2
k k
E A A
hay
1
1 > 0.
2
A
Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi 2
<
A
.
Kết luận: Trong chương 1, luận văn đã trình bày một số kiến thức liên
quan đến việc giải số phương trình đạo hàm riêng bao gồm một số kiến thức
cơ bản của phương pháp sai phân, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán
giải phương trình vec tơ 3 điểm đối với bài toán biên thứ nhất và bài toán biên
thứ hai, áp dụng đối với bài toán biên Dirichlet và bài toán biên hỗn hợp, cơ
sở lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử. Những kiến thức
quan trọng này làm nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương
tiếp theo của luận văn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
27
Chương 2
CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHƢƠNG PHÁP CHIA MIỀN
Trong chương này, chúng ta đưa ra cơ sở toán học của phương pháp
chia miền bao gồm giới thiệu các khái niệm về các điều kiện chuyển giao giữa
các biên chung, các công thức biến phân và đặc biệt là ứng dụng của toán tử
Steklov-Poincare đối với phương pháp chia miền. các phương pháp lặp đơn
trên các biên chung. Các kiến thức được trình bày trên cơ sở các tài liệu
[11,12, 14, 22, 25, 26, 29, 30, 31]
Hình 1
Xét bài toán
, ,
0, ,
u f x
u x
(2.1)
trong đó
là miền
d
chiều
)3,2( d
, với biên Lipschitz
, kí hiệu
n
là véc
tơ pháp tuyến ngoài của miền
,
f là hàm đã cho thuộc không gian 2 ( )L ,
1
d
j j
j
D D
là toán tử Laplace và
jD
.
Kí hiệu là đạo hàm riêng theo
)..1( djx j
. Giả sử rằng miền
được chia
thành hai miền con không giao nhau
1
và
2
, kí hiệu
21
(Hình 1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
28
2.1 Công thức đa miền và phƣơng trình Steklov-Poicare
Kí hiệu
i
u
là giá trị nghiệm
u
trong miền
)2,1(, ii và in là hướng
pháp tuyến ngoài trên
i
. Ta đặt
1nn
. Khi đó bài toán (2.1) có thể viết
lại dưới dạng đa miền như sau:
1 1
1 1
1 2
2 1
2 2
2 2
, ,
0, ,
, ,
, ,
0, ,
, .
u f x
u x
u u x
u u
x
n n
u x
u f x
(2.2)
Các phương trình 3 và 4 trong (2.2) là các điều kiện chuyển tiếp trên
biên về mặt ý nghĩa vật lý muốn mô tả điều kiện liên tục của hàm và đạo hàm
khi biến thiên qua biên chung
giữa hai miền. Kí hiệu
là giá trị chưa biết
của
u
trên
, ta xét hai bài toán biên Dirichlet
, ,
0, ,
, .
i i
i i
i
w f x
w x
w x
(2.3)
Với
2,1i
, chúng ta có thể biểu diễn
*0
iii uuw
trong đó
0
iu
và
*
iu là nghiệm của các bài toán Dirichlet sau:
0
0
0
0, ,
0, ,
, .
i i
i i
i
u x
u x
u x
(2.4)
*
*
*
, ,
0, ,
0, .
i i
i i
i
u f x
u x
u x
(2.5)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
29
Với mỗi
2,1i
0
iu
là mở rộng điều hoà của
vào
i
và được kí hiệu
là
iH
, ta sẽ viết
i
G f
thay cho
*
iu
. Bằng việc so sánh (2.2) và (2.3) ta thấy
rằng
)2,1( iuw ii
khi và chỉ khi
.,21
x
n
w
n
w (2.6)
Giá trị
trên biên chung phải thoả mãn phương trình Steklov-
Poincare
, ,S x
trong đó (2.7)
2
2 1
1
i
i
G f G f G f
n n n
, (2.8)
trong đó
S
là toán tử Steklov-Poincare được định nghĩa bởi
2
1
21
i
i
i
n
H
n
H
n
H
S
.
Cùng với toán tử
S
, ta cũng sử dụng các toán tử
1
iS
và gọi là các toán
tử Poincare-Steklov.
Mô hình chia miền trên có thể áp dụng đối với bài toán tổng quát
xfLu , , (2.9)
trong đó
L
là toán tử vi phân,
f là hàm đã cho và u là nghiệm chưa biết. Do
được chia thành hai miền con nên phương trình (2.9) tương đương với hai
phương trình
22
11
,
,,
xfLu
xfLu
(2.10)
trong đó
)2,1(, iui cần thoả mãn các điều kiện chuyển dịch qua được
biểu hiện bởi hai quan hệ tổng quát
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
30
,),()(
,),()(
21
21
xuu
xuu
trong đó các hàm
,
phụ thuộc vào từng loại bài toán, Với bài toán Poisson
thì
n
v
vvv
)(,)(
.
2.2 Các phƣơng pháp lặp đơn cơ sở
Trong phần này, chúng ta xét việc giải bài toán đa miền bằng c...