Download miễn phí Luận văn Tích phân Itô – Wiener nhiều chiều
Mục luc Trang
Lời Thank 1
Lời nói đầu 2
Mục lục .4
Bảng ký hiệu .8
Chương I: Tích Phân Itô – Wiener Một Chiều . .10
§1.1. Những khái niệm c ơ bản 10
1.1.1. Định nghĩa đại số .10
1.1.2. Định nghĩa không gian xác suất .10
1.1.3. Định nghĩa bi ến ngẫu nhi ên .11
1.1.4. Định nghĩa quá trình ng ẫu nhiên .11
1.1.5. Định nghĩa li ên tục ngẫu nhiên 12
1.1.6. Định nghĩa quá tr ình ngẫu nhiên đo được .12
1.1.7. Định nghĩa bộ lọc 12
1.1.8. Định nghĩa matingale .13
1.1.9. Định nghĩa quá tr ình n gẫu nhiên đo được dần 13
1.1.10. Định nghĩa hội tụ theo xác su ất .14
1.1.11. Định nghĩa hội tụ hầu chắc chắn .14
1.1.12. Định lý hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội) .14
§1.2. Tích phân Itô – Wiener một chiều . .15
1.2.1. Định nghĩa lịch sử v à tương lai c ủa quá trình Wiener . .15
1.2.2. Định nghĩa .16
1.2.3. Định nghĩa .16
1.2.4. Định nghĩa không gian hàm bình ph ương khả tích. .16
1.2.5. Định nghĩa hàm sơ cấp. .17
1.2.6. Định nghĩa tích phân ngẫu nhi ên Itô của hàm sơ cấp .17
1.2.7. Bổ đề xấp xỉ một h àm bất kỳ bằng h àm sơ cấp .17
1.2.8. Định nghĩa tích phân ngẫu n hiên Itô của hàm bất kỳ .18
1.2.9. Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên Itô .18
1.2.10. Ví dụ 21
§1.3. Vi phân ng ẫu nhiên Itô .23
1.3.1. Định nghĩa .23
1.3.2. Định lý công thức vi ph ân Itô một chiều .24
1.3.3. Ví dụ 28
1.3.4. Tính chất công thức vi phân của tíc h hai quá trình ng ẫu nhiên .28
1.3.5. Ví dụ 30
1.3.6. Tính chất công thức vi phân 31
1.3.7. Ví dụ 31
1.3.8. Tính chất công thức vi phân 32
1.3.9. Ví dụ 33
1.3.10. Tính chất công thức tích phân từng phần 34
1.3.11. Ví dụ 34
1.3.12. Tính chất công thức vi phân vec tơ – Itô .34
1.3.13. Tính chất công thức vi p hân Itô nhiều chiều .35
§1.4. Ứng dụng trong t ài chính .36
1.4.1. Đạo hàm bậc nhất của công thức Black – Scholes .37
1.4.2. Ví dụ 39
1.4.3. Kỳ vọng và phương sai c ủa quá trình Cox – Ingersoll – Ross 41
Chương II: Tích Phân Itô - Wiener Nhiều Chiều .44
§2.1. Tích phân ng ẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều . .44
2.1.1. Định nghĩa h àm đối xứng 44
2.1.2. Định nghĩa .44
2.1.3. Ví dụ 45
2.1.4. Định nghĩa tích phân Itô lặp 45
2.1.5. Định nghĩa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều. 47
§2.2. Đa thức Hermite .48
2.2.1. Tính chất công thức đa t hức hermite .48
2.2.2. Tính chất đệ qui .49
2.2.3. Tính chất .50
2.2.4. Tính chất trực giao .52
2.2.5. Tính chất đa thức Hermite bi ểu diễn thành tích phân I tô – Wiener
nhiều chiều .55
Chương III: Khái Niệm Mở Rộng Về Tích Phân Ngẫu Nhi ên 58
§3.1. Quá trình Levy .58
3.1.1. Định nghĩa qu á trình Levy .58
3.1.2. Định lý các tính chấ t của quá trình Levy .58
3.1.3. Định lý biểu diễn Levy – Khintchine .60
§3.2. Tính ch ất Markov mạnh c ủa quá trình Levy .60
3.2.1. Định nghĩa t hời điểm dừng .61
3.2.2. Bổ đề 61
3.2.3. Bổ đề 62
3.2.4. Tính chất .63
3.2.5. Tính chất .64
3.2.6. Định lý .65
§3.3. Tích phân ng ẫu nhiên theo quá trình Levy 66
3.3.1. Định nghĩa tích phâ n hàm bậc thang .66
3.3.2. Tính chất .67
3.3.3. Định nghĩa tích phân ngẫu nhi ên theo quá trình Levy 69
3.3.4. Tính chất .69
3.3.5. Tính chất công thức t ích phân t ừng phần 70
3.3.6. Ví dụ 71
§3.4. Ứng dụng trong tài chính .71
3.4.1. Định ngh ĩa biến đổi Esscher 72
3.4.2. Tính chất .73
3.4.3. Tính chất .74
3.4.4. Tính chất .76
3.4.5. Tính chất .78
Kết luận .80
Tài liệu tham khảo. . . . 81
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
+ . (1.63)Ta có công thức: ( ) ( ) ( )1 2, ,t t t t t td X Y X dY Y dX t t dtβ ω β ω= + + . (1.64)
Chứng minh
Ta có ( ) ( )2 22 2 2 22 2t t t t t t t t t t t tX Y X X Y Y X Y X Y X Y+ = + + ⇔ = + − − .
Lấy vi phân 2 vế ta được:
( ) ( )2 2 22 t t t t t td X Y d X Y dX dY= + − − . (*)
Trong đó:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
1
2 2
1
22
1 2
2 , ,
2 , ,
2 , , .
t t t
t t t
t t t t t t
dX X dX t dt
dY Y dY t dt
d X Y X Y d X Y t t dt
β ω
β ω
β ω β ω
⎧ = +⎪⎪⎪ = +⎨⎪⎪⎪ + = + + + +⎩
Thay vào (*) ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
2 2
1 2 1
2
2
2 2 , , 2 ,
2 ,
t t t t t t t t
t t
d X Y X Y d X Y t t dt X dX t dt
Y dY t dt
β ω β ω β ω
β ω
= + + + + − +
− +
= ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 21 1 2 22 , 2 , , ,t t t tX Y dX dY t t t t dtβ ω β ω β ω β ω+ + + + +
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
30
( )( ) ( )( )2 21 22 , 2 ,t t t tX dX t dt Y dY t dtβ ω β ω− + − +
( ) ( )1 22 2 2 , ,t t t tY dX X dY t t dtβ ω β ω= + + .
Suy ra:
( ) ( ) ( )1 2, ,t t t t t td X Y X dY Y dX t t dtβ ω β ω= + + . ,
Ví dụ 1.3.5: Cho quá trình ngẫu nhiên 2 ,t tX W= trong đó tW là quá trình Wiener
một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 2t t tdX dt W dW= + . (1.65)
Cho quá trình ngẫu nhiên 2 ,tWtY t e= + + trong đó tW là quá trình Wiener một
chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 11
2
t tW W
t tdY e dt e dW
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠ . (1.66)
Khi đó ta tìm vi phân ngẫu nhiên Itô của tích t tX Y⋅ .
Giải
Ta có: ( ) ( ) ( )1 2, ,t t t t t td X Y X dY Y dX t t dtβ ω β ω= + +
( )( )2 11 2 2 22 t t t tW W W Wt t t t tW e dt e dW t e dt W dW W e dt⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
( ) ( )2 211 2 2 2 22 t t t t tW W W W Wt t t t tW e t e W e dt W e W t e dW⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + + + + + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦
( ) ( )2 22 1 2 2 2 2
2
t tW Wt
t t t t t
We W W t dt W e W t dW
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + + + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦
. (1.67)
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
31
Tính chất 1.3.6: Vi phân của nghịch đảo quá trình ngẫu nhiên
Điều kiện:
Cho tY là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô biểu diễn dạng:
( ) ( )2 2, ,t tdY t dt t dWα ω β ω= + . (1.68)
Ta có công thức: ( ) ( ) ( )22 2 22 ,1 1 , , t
t t t
t
d t dt t dW
Y Y Y
β ω α ω β ω⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ = − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(1.69)
Chứng minh
Ta xét ( ) 1,t X
X
ϕ = thì: 0
t
ϕ∂ =∂ ,
2
2 2 3
1 2,
X X X X
ϕ ϕ∂ ∂= − =∂ ∂
suy ra ( )222 3,1 1 t
t t t
t
d dY dt
Y Y Y
β ω⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( )22 2 22 ,1 , , t
t t
t
t dt t dW
Y Y
β ω α ω β ω⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
. , (1.70)
Ví dụ 1.3.7: Cho quá trình ngẫu nhiên ,tWtY e= trong đó tW là quá trình Wiener
một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 1
2
t tW W
t tdY e dt e dW= + . (1.71)
Khi đó ta tìm vi phân ngẫu nhiên Itô của 1
tY
.
Giải
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
32
Ta có: ( ) ( ) ( )22 2 22 ,1 1 , , t
t t t
t
d t dt t dW
Y Y Y
β ω α ω β ω⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ = − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
2
2
1 1
2
t
t t t
t t
Y Y dt Y dW
Y Y
⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
1 1
2 tt t
dt dW
Y Y
= − 1 1
2 t t tW W
dt dW
e e
= − . (1.72)
Tính chất 1.3.8: Vi phân của thương hai quá trình ngẫu nhiên
Điều kiện:
Cho tX là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô biểu diễn dạng:
( ) ( )1 1, ,t tdX t dt t dWα ω β ω= + . (1.73)
Cho tY là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô biểu diễn dạng:
( ) ( )2 2, ,t tdY t dt t dWα ω β ω= + . (1.74)
Ta có công thức:
( ) ( ) ( )2 122 3, ,, t tt t t t t
t t t
t X t YX Y dX X dYd t dt
Y Y Y
β ω β ωβ ω⎛ ⎞ −−= +⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.75)
Chứng minh
Ta có ( ) ( )21 2,1 1 1. ,t t t t
t t t t t
tXd d X X d dX t dt
Y Y Y Y Y
β ωβ ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( )22 1 22 3 2, , ,1 1t t t
t t t t
t t t
X dY dt dX dt
Y Y Y Y
β ω β ω β ω⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( )22 1 23 2 2, , , 1 tt t t
t t t t
t t t XX dt dt dX dY
Y Y Y Y
β ω β ω β ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
. , (1.76)
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
33
Ví dụ 1.3.9: Cho quá trình ngẫu nhiên ,taWtX e= trong đó tW là quá trình
Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 21
2
t taW aW
t tdX a e dt a e dW= + . (1.77)
Cho quá trình ngẫu nhiên ln ,tW atY e= trong đó tW là quá trình Wiener một chiều,
có vi phân ngẫu nhiên: ( )21 ln ln
2t t t t
dY a Y dt Y a dW= + . (1.78)
Khi đó ta tìm vi phân ngẫu nhiên Itô của thương t
t
X
Y
.
Giải
Ta có: ( ) ( ) ( )2 122 3, ,, t tt t t t t
t t t
t X t YX Y dX X dYd t dt
Y Y Y
β ω β ωβ ω⎛ ⎞ −−= +⎜ ⎟⎝ ⎠
( )22
2
1 1ln ln
2 2t t t t t t t t
t
Y aX dW a X dt X Y a dW a Y dt
Y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
( ) ( )
2 2
2
3
1 1ln . .1 2 2ln
2
t t t t
t
t
a Y X a Y X
a Y dt
Y
−
+
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 22 21 1ln ln ln ln2 4t ttt tX Xa a dW a a dt a a a dtY Y⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( )( ) ( )2 221 1ln ln 1 ln2 2t ttX a a dW a a a dtY ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
( ) ( )( ) ( ) ( )2 2ln 21 1ln 1 ln ln .2 2tW a a te a a a dt a a dW− ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (1.79)
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
34
Tính chất 1.3.10: Công thức tích phân từng phần
Giả sử ( ) ( ),f s f sω = chỉ phụ thuộc vào s và f là hàm bị chặn trên đoạn
[ ]0,T khi đó ta có: ( ) ( ) ( )
0 0
.
T T
s t sf s dW f t W W df s= −∫ ∫ (1.80)
Chứng minh
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 0
T T
s sf s dW f s f T f T dW= − − + −∫ ∫
( ) ( )( ) ( )
0 0
T T
s sf T f s dW f T dW= − − +∫ ∫ ( ) ( )
0 0
T T T
s s
s
dW f u du f T dW′= − +∫ ∫ ∫
( ) ( )
0 0 0
T u T
s sf u du dW f T dW′= − +∫ ∫ ∫ ( )( ) ( )( )0 0
0
T
u Tf u W W du f T W W′= − − + −∫
( ) ( )
0
.
T
T uW f T W df u= − ∫ , (1.81)
Ví dụ 1.3.11: Tính tích phân
0
T
ssdW∫ .
Giải
Áp dụng công thức từng phần ta có:
0 0
.
T T
s T ssdW T W W ds= −∫ ∫ . (1.82)
Tính chất 1.3.12: Công thức vi phân vectơ – Itô
Nếu ( )1,2 df C +∈ ×\ \ và tWJJG là quá trình Wiener trong d\ thì
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
35
( ) ( ) ( ) ( )1, , , , ,2t t t t t tdf t W f t W dt f t W dW f t W dt= +∇ + ΔJJG JJG JJG JJG JJG (1.83)
trong đó:
2
2
1
d
i
f
x=
∂Δ = ∂∑ là toán tử Laplace, còn 1 , , d
f f
x x
⎛ ⎞∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
" là toán tử Gradient.
Tính chất 1.3.13: Công thức vi phân Itô nhiều chiều
Cho quá trình ngẫu nhiên n chiều tX thỏa
1 1
1 11 1
1
1
...
...
m
t t m t
n m
t n n t nm t
dX u dt v dW v dW
dX u dt v dW v dW
= + + +
= + + +
# # # (1.84)
hay viết dưới dạng t tdX udt vdW= + , trong đó
1 1
11 11
1
, , ,
t m t
t t
n m
n n nmt t
X v v Wu
X u v W
u v vX W
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
…
# # # # #
"
.
Cho ( ) ( ) ( )( ) [ )1, , ,..., , : 0, d ppg t x g t x g t x= ∞ × →\ \ ,
thì quá trình ( ) ( )( ),Y t g t X t= có công thức vi phân ngẫu nhiên Itô
( ) ( ) ( )2
,
1, , , .
2
k k k
k i i j
i i ji i j
g g gdY t X dt t X dX t X dX dX
t x x x
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑ (1.85)
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
36
§1.4 ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH
Khái niệm hợp đồng Quyền Chọn Mua: Người mua có thể mua “ một cơ hội
mua một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một giá đảm bảo trước ”. Cái
quyền cho phép có thể mua (mà không bắt buộc phải mua) như vậy trong tương lai
thì được gọi là Quyền Chọn Mua.
Các điều kiện của hợp đồng này là:
• Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng có thể trả cho người viết hợp đồng
số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng.
• Nếu người viết hợp