Tiệm cận hàm số - Ôn thi toán đại học

[tac.lam59]

Chuyên đề Tiệm cận hàm số - Ôn thi toán đại học

Download Chuyên đề Tiệm cận hàm số - Ôn thi toán đại học miễn phí

Ví dụ7:Cho hàm số y = (x^2 + x+ 1)/(x-1) có đồ thị là ( C) .
Chứng minh rằng:
1. Tích khoảng cách từmột điểm bất kì trên (C ) đến hai tiệm cận không đổi
2. Không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điểm của hai tiệm cận.



Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
86
Bài 3 :TIỆM CẬN HÀM SỐ
3.1TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang:
• Đường thẳng
0
y y= được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận
ngang) của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ( ) 0limx f x y→+∞ = hay ( ) 0limx f x y→−∞ = .
• Đường thẳng
0
x x= được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là tiệm cận
đứng) của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ( )
0
lim
x x
f x
−→
= +∞ hay
( )
0
lim
x x
f x
+→
= +∞ hay ( )
0
lim
x x
f x
−→
= −∞ hay ( )
0
lim
x x
f x
+→
= −∞ .
2. Đường tiệm cận xiên:
Đường thẳng ( )0y ax b a= + ≠ được gọi là đường tiệm cận xiên ( gọi tắt là
tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu
( ) ( ) ( )lim 0
x
f x f x ax b
→+∞
 = − + =  hay ( ) ( ) ( )lim 0x f x f x ax b→−∞  = − + = 
Trong đó
( ) ( )lim , lim
x x
f x
a b f x ax
x→+∞ →+∞
 = = −
 
hay
( ) ( )lim , lim
x x
f x
a b f x ax
x→−∞ →−∞
 = = −
 
.
Chú ý : Nếu 0a = thì tiệm cận xiên trở thành tiệm cận đứng.
3.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Ví dụ 1 : Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :
2 1
1.
2
x
y
x
−
=
+
2 1
2.
1
x x
y
x
− +
=
−
2 1
3.
x
y
x
+
=
24. 1 1y x= + −
Giải :
2 1
1.
2
x
y
x
−
=
+
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên { }\ 2D =
.
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
87
* Ta có:
1
2
2 1
lim lim lim 2
2 2
1
x x x
x xy
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
−
−
= = =
+
+
và
1
2
2 1
lim lim lim 2
2 2
1
x x x
x xy
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
−
−
= = =
+
+
2y⇒ = là tiệm cận ngang của đồ thị khi
x → −∞ và x → +∞ .
( ) ( )2 2
2 1
lim lim
2
x x
x
y
x− −
→ − → −
−
= = −∞
+
và
( ) ( )2 2
2 1
lim lim
2
x x
x
y
x+ +
→ − → −
−
= = +∞
+
2x⇒ = − là tiệm cận đứng của đồ thị khi
( )2x −→ − và ( )2x +→ − ; ( )
2 1
lim lim 0
2x x
y x
x x x→−∞ →−∞
−
= = ⇒
+
hàm số f không
có tiệm cận xiên khi x → −∞ .
( )
1
2
2 1
lim lim lim 0
22x x x
y x x
x xx x→+∞ →+∞ →+∞
−
−
= = = ⇒
++
hàm số y không có tiệm cận
xiên khi x → +∞ .
2 1
2.
1
x x
y
x
− +
=
−
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên { }\ 1D =

* Ta có: 1
1
y x
x
= +
−
1 1
1
lim lim
1x x
y x
x+ +→ →
 
⇒ = + = +∞ 
− 
và
1 1
1
lim lim 1
1x x
y x x
x− −→ →
 
= + = −∞ ⇒ = 
− 
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
khi 1x +→ và 1x −→ ; 1lim lim
1x x
y x
x→+∞ →+∞
 
= + = +∞ 
− 
và
1
lim lim
1x x
y x
x→−∞ →−∞
 
= + = −∞ ⇒ 
− 
hàm số không có tiệm cận ngang
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
88
1
lim ( ) lim 0
1x x
y x
x→+∞ →+∞
− = =
−
và 1lim ( ) lim 0
1x x
y x
x→−∞ →−∞
− = =
−
y x⇒ = là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ và x → −∞ .
2 1
3.
x
y
x
+
=
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên { }\ 0D =
.
2
2
1
1
1
lim lim lim 1 1, 1
x x x
x
xy y
x x→−∞ →−∞ →−∞
− +
= = − + = − ⇒ = − là tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số khi x → −∞ .
2
2
1
1
1
lim lim lim 1 1, 1
x x x
x
xy y
x x→+∞ →+∞ →+∞
+
= = + = ⇒ = là tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số khi x → +∞ .
2 2
0 0 0 0
1 1
lim lim , lim lim 0
x x x x
x x
y y x
x x− − + +→ → → →
+ +
= = −∞ = = +∞ ⇒ = là tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số khi 0x −→ và 0x +→
2 2
2 2
1
1
1
lim lim lim 0
x x x
x
y x x
x x x→−∞ →−∞ →−∞
− +
+
= = = ⇒ hàm số y không có tiệm cận
xiên khi x → −∞
2 2
2 2
1
1
1
lim lim lim 0
x x x
x
y x x
x x x→+∞ →+∞ →+∞
+
+
= = = ⇒ hàm số y không có tiệm cận xiên
khi x → +∞
24. 1 1y x= + −
( )
2
22
1 1
1 1 1
1 1
x
y x y
x y

− ≤ ≤

= + − ⇔ ≥

+ − =
Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm ( )0;1I , bán kính 1R = .
Vậy đồ thị hàm số không có tiêm cận.
Chú ý :
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
89
Cho hàm phân thức ( )( )
( )
u x
f x
v x
= .
a) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của hệ ( ) 0
( ) 0
v x
u x
 =
 ≠
.
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ⇔ deg ( ) deg ( )u x v x≤ , trong đó deg là
bậc của đa thức.
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên deg ( ) deg ( ) 1u x v x⇔ = + .Khi đó để tìm
tiệm cận xiên ta chia ( )u x cho ( )v x , ta được: 1
( )
( )
u x
y ax b
v x
= + + , trong đó
1deg ( ) deg ( )u x v x<
1 1( ) ( )lim lim 0
( ) ( )x x
u x u x
y ax b
v x v x→+∞ →−∞
⇒ = = ⇒ = + là TCX của đồ thị hàm số.
* Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì không có tiệm cận xiên và ngược lại.
Bài tập tự luyện:
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :
1. 3 2
3 4
x
y
x
−
=
+
2.
22 3 4
5 2
x x
y
x
+ −
=
−
3. 2 4 5y x x x= + + +
2.
2 5 1
2
x x
y
x
+ +
=
+
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:
21. 2 2y x x= − + 22. 1y x x= + −
Giải :
21. 2 2y x x= − +
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên
.
* Ta có:
2
2
2 2 2 2
lim lim lim 1 1
x x x
y x x
a
x x x x→+∞ →+∞ →+∞
− +
= = = − + =
2lim ( ) lim 2 2
x x
b y ax x x x
→+∞ →+∞
 
= − = − + − 
 
2
2
2
2
2 2
lim lim 1
2 22 2 1 1
x x
x x
x x x
x x
→+∞ →+∞
− +
− +
= = = −
− + +
− + +
1y x⇒ = − là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ .
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
90
2
2
2 2 2 2
lim lim lim 1 1
x x x
y x x
a
x x x x→−∞ →−∞ →−∞
− +
= = = − − + = −
2lim ( ) lim 2 2
x x
b y ax x x x
→−∞ →−∞
 
= − = − + + 
 
2
2
2
2
2 2
lim lim 1
2 22 2 1 1
x x
x x
x x x
x x
→−∞ →−∞
− +
− +
= = =
− + −
− − + −
1y x⇒ = − + là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → −∞ .
22. 1y x x= + −
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( ); 1 1;D  = −∞ − ∪ +∞  .
2
2
1 1
lim lim lim 1 1 2
x x x
y x x
a
x x x→+∞ →+∞ →+∞
 + −
 = = = + − =
 
 
( ) 2
2
1
lim lim 1 lim 0
1x x x
b y ax x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
− 
= − = − − = = 
 
− +
2y x⇒ = là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ .
2
2
1 1
lim lim lim 1 1 0
x x x
y x x
a
x x x→−∞ →+∞ →+∞
 + −
 = = = − − =
 
 
2
2
1
lim lim 1 lim 0
1x x x
b y x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞
− 
= = − + = = 
 
− −
0y⇒ = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → −∞ .
Nhận xét:
1) Xét hàm số 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ .
* Nếu 0a < ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận.
* Nếu 0a > đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ( )
2
b
y a x
a
= + khi x → +∞ và
2
b
y a x
a
 
= − + 
 
khi x → −∞ .
2) Đồ thị hàm số 2y mx n p ax bx c= + + + + ( 0)a > có tiệm cận là đường
thẳng : | |
2
b
y mx n p a x
a
= + + + .
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
91
Bài tập tự luyện:
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :
1. 2
4
x
y x
x
−
= −
+
3. 2 2 3y x x x= − + +
Ví dụ 3: Tùy theo giá trị của tham số m . Hãy tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
sau:
3
1
1
x
y
mx
−
=
−
.
Giải :
* 0 1m y x= ⇒ = − + ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận.
*
3
1
1 ( )
1
x
m f x
x
−
= ⇒ =
−
lim ( ) lim ( ) 0 0
x x
f x f x y
→+∞ →−∞
⇒ = = ⇒ = là tiệm cận
ngang của đồ thị hàm số khi x → +∞ và x →